了解什麼是線性和非線性分析，數學模型和日常實例

你在做的模擬分析是”非線性”的嗎?(身在CAE領域，是否常聽到這樣的問題?)

非線性分析在有限元素分析中，是進階的分析，因為它不像線性分析這麼單純，很可能運算結果不收斂，軟體計算一直出現發散，最後沒有一個可用的答案。因此一般我們說，非線性分析有難度，考驗工程師的實力，甚至很多人做了多年分析，都不知道非線性是什麼(昏，真的是這樣)。這篇我們就初步聊一聊，在有限元素分析中什麼是線性和非線性。

從虎克定律說起

在有限元素分析（FEA）中，線性分析與非線性分析的差異取決於系統的物理行為是否遵循線性假設。這裡簡單舉例，國中時期大家都學過彈簧的虎克定律，當彈簧在彈性範圍內，力 (F) 和位移 (x) 之間是正比關係，因此我們可以用F=kx來描述(K是彈簧的勁度，也是係數)，這種正比關係也就是我們在拉或壓縮彈簧時，力與位移的變化始終保持固定比例，就是線性。相對的，當彈簧超過彈性範圍，力與位移的關係就是非線性。

數學模型

有了初步概念之後，我們從一個模擬分析的模型這樣的情境，更深入探討來區別線性和非線性。

一、線性分析的基本假設與限制

線性分析基於以下假設：

材料行為：應力與應變呈線性關係（例如: 虎克定律）。
幾何變化：結構變形微小，不影響整體剛度(或稱勁度)(stiffness)與外力方向。
邊界條件：接觸面或支撐條件不隨模型在分析過程中的變形而改變。

在此框架下，控制方程可簡化為線性矩陣方程式：

[A]{u}={s}

其中 [A]為常數矩陣，{u} 為位移向量，{s} 為外力向量。線性分析適用於靜態、小變形問題，例如簡單結構的應力分佈計算。

二、非線性分析的三大類型

當系統行為偏離線性的假設時，就要採用非線性分析，主要分為以下三種情境：

材料非線性（Material Nonlinearity）
- 特徵：應力-應變關係為非線性，例如塑性變形、潛變或材料特性隨著溫度變化。
- 應用：模擬金屬材料降伏(yield)、橡膠超彈性行為，或地震下的結構降伏產生永久變形。
幾何非線性（Geometric Nonlinearity）
- 特徵：結構因大變形導致勁度變化。例如纜線受拉硬化、薄殼挫曲軟化(指薄殼結構（如鋼板或混凝土板）在受到壓力或負載時，隨著變形的增加，其承載能力逐漸降低的現象。)。
- 應用：懸索橋變形、氣球膨脹或金屬成型過程的模擬。
接觸非線性（Contact Nonlinearity）
- 特徵：物體因為互相接觸，導致分析系統的邊界條件，隨著接觸這樣的行為而改變，例如碰撞或齒輪咬合轉動。
- 應用：撞擊分析、零件卡勾裝配或螺絲鎖付。

非線性問題的控制方程式通常表示為：

[A(u)]{u}={s}

或含動態項次：

[A]{u′′}+[B]{u′}+[C]{u}={s}

其中{u}為位移， {u′}與 {u′′} 分別為速度與加速度向量。

生活中的例子-理想與現實

上面的數學模型，大家應該對線性非線性有在方程式上的了解。那麼現實生活中，什麼該用線性來分析，什麼又用非線性來分析呢?這裡真的需要一些工程判斷的經驗，才能快速有效的求取答案。我們都希望分析是線性的，因為快又容易計算出答案。然而，在人類生活的真實世界，大多數的狀況如果我們去深究，應該都是非線性的。聽到這裡是否想說?既然都是非線性，那線性分析還能用得到嗎?當然能。事實上，模擬分析不是完完全全、一模模一樣樣的去複刻現實狀態，而是要能合理的表達現實的情境。

以下來看一些例子。

線性分析

橋樑日常交通負載: 小型橋樑在正常交通負載下（如汽車通行）通常不會發生大變形。此時，線性分析足以預測橋樑的應力分佈和位移情況。
建築物靜態負載設計: 想像一座普通辦公樓，其結構需要承受靜態負重（例如:建築物自己的重量和家具的重量）。由於這些載荷不會導致大變形或材料降伏，使用線性分析來快速計算樑、柱等結構件的應力和變形。

非線性分析

汽車碰撞: 在汽車安全設計中，模擬車輛在高速碰撞下的行為。有多種非線性因子，例如材料降伏、大變形以及車體零件之間的接觸。
氣球膨脹過程: 當氣球充氣時，會經歷明顯的大變形，且氣球的材料也具有超彈性的特點。這是一個典型的幾何與材料非線性，必須以非線性作為假設來分析。
水壩抗震性能評估: 水壩在地震作用下可能會經歷極端條件，包括大幅度振動和局部材料降伏。非線性分析可以模擬水壩在地震中的應力分佈及潛在破壞模式。

特徵	線性分析	非線性分析
假設	應力-應變呈線性，小變形	考慮塑性、大變形、接觸等現象
數學模型	簡單矩陣方程	複雜且需迭代求解(數值分析)
計算成本	計算速度快	計算時間長
適用範圍	靜態、小負載	動態、大負載、極端條件問題
生活實例	建築靜態負載、橋梁日常交通負載	汽車碰撞、氣球膨脹、水壩抗震性能評估

讀到這裡，你是否對什麼是線性，什麼又是非線性，有更瞭解了呢?

我們心中理想、完美複刻真實世界的模型可能不存在，但是能夠真實反應問題，求得工程解答的模型，是一定存在的。你的模擬題目，是線性來是非線性分析呢?

想了解您的工程問題，適合用什麼軟體來做模擬分析嗎?歡迎聯繫我們。想一窺現今業界，CAE高手用的非線性有限元素分析軟體-Marc嗎? 更多關於>> Marc 。

會員