了解常用CAE軟體使用的數值分析方法
學習CAE軟體先修課
很多人問：「我要學習CAE軟體，在學校要去上那些課程呢?」
除了探究物理現象的課程，像是名稱有「力學」的課程，例如:材料力學、靜力學、流體力學、動力學等，和CAE技術最直接的課程，就是「數值分析 」或者「電腦輔助工程分析 」。(兩種課程通常是名稱不同，本質相同。一個可能較著重理論，另一個著重在軟體實作。)
數值分析是研究以數值方法來解決數學問題的科學。聽起來很複雜?簡言之，就是以一系列解決數學問題的計算技術來分析問題，特別是用在無法以解析方法獲得精確解答的狀況，以數值方法能在合理的誤差範圍找到近似解。它的應用常見在工程、物理、金融和生命科學等各個領域。而我們常見的CAE電腦輔助工程分析軟體，背後也是應用數值分析方法來求解。學習CAE軟體前，先了解常見重要的數值分析方法，在使用CAE軟體時，更能得心應手喔!!
為什麼需要數值分析？
這是個好問題，當我們被這些高深的技術弄得頭昏的時候，肯定會回頭問這個問題?到底為什麼，我們需要數值分析技術。試著想，如果所有的方程式都不是太難，可以用人腦外加工程計算機，在紙上寫寫公式，按按計算機就能求解。然而，如果你現在要求解的問題很複雜，沒有解析解(這也是最常見的狀況)，求得近似解就是一個解決方法。這時候就需要數值分析，來求得近似解。我們整理答案，歸納如下：
- 現實應用：許多科學和工程中的複雜問題，無法用解析方法求得答案。數值分析讓我們能夠對這些問題建立模型，求得近似解。
- 計算效率：現在各種工程問題越來越複雜，計算技術也隨之進步，這些計算以人腦手動執行已經不符合需求，數值方法是執行複雜計算的重要工具。
- 誤差管理：數值分析強調理解和掌握計算中的誤差。能在分析時理解和正確設定各種計算參數，能確保結果的合理性，滿足特定的精度要求。
數值方法在求解什麼方程式?
現實世界中，很多問題無法以簡單的方程式來描述。以工程問題而言，常以偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）來描述複雜的物理現象，像是熱傳導、流體流動、力學現象和評估結構分析中的材料行為等。而數值方法就是用來求解這些方程式，獲取近似解的方法。
偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是涉及多個自變量及其偏導數的方程。這類方程用於描述許多物理現象，如熱傳導、流體流動和波動等。
- 形式：一個典型的PDE可以表示為 F(x1,x2,…,xn,u,ux1,ux2,…,uxn)=0，其中 uu 是未知函數，x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn 是自變量。
- 應用範圍：PDE廣泛應用於工程和科學中，例如在結構分析中評估材料行為，在流體力學中模擬流體運動等。
常見的數值分法
現在我們了解數值分析到底在做什麼，又為什麼要有數值分析方法。 接下來我們探討三種主要的數值方法，也是大家如果修習數值分析課程，最常會學到的：有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限體積法（Finite Volume Method, FVM）和有限元素法（Finite Element Method, FEM）。每種方法都有其獨特特徵，適合特定類型的問題。
| 有限差分法 (FDM) | 有限體積法 (FVM) | 有限元素法 (FEM) | |
|---|---|---|---|
| 概述 | 在離散網格點上使用有限差分來近似PDE中的導數。 | 模型劃分為控制體積並應用守恆法則來求解PDE。 | 將模型劃分為較小的元素，並使用變分原理進行近似。 |
| 網格特色 | – 結構化網格 – 使用前向、後向或中心差分。 | – 結構化或非結構化網格 – 自然地強制守恆法則。 | – 結構或非結構化網格 – 通過自適應網格實現高準確度。 |
| 優點 | 簡單、計算效率高 | – 保持質量、動量和能量守恆 – 網格類型靈活 | – 能夠很好地處理複雜幾何形狀 – 高準確度 |
| 缺點 | – 限於簡單幾何形狀 – 邊界附近可能存在準確性問題。 | – 比FDM執行上較複雜 – 某些狀況需要高計算資源 | – 執行上較為複雜 – 通常需要更多計算資源 |
| 應用 | – 熱傳遞問題 – 基本流體動力學模擬 | – 計算流體動力學 (CFD) – 熱傳遞分析 | – 結構分析 – 電磁場模擬 – 多物理場: 熱結構耦合分析 |
CAE軟體因需求而生
在沒有CAE軟體的狀況，例如在學校的特定學科的考試，可能會有相對簡單的物理現象描述，要求以上述的數值分析方法，在試卷上求解。然而，真的很複雜的問題，還是要交給程式來計算。因此有專業CAE軟體，基於這些數值方法，提供一個友善的操作介面，讓使用者透過軟體來建立模型，並且讓電腦來計算結果，最後再將結果可視化。
這裡列出常見的CAE軟體和其背後的數值方法。
| 軟體名稱 | 數值方法 | 常見應用 |
|---|---|---|
| MSC Nastran | 有限元素法(FEM) | 結構分析、模態分析、動態分析、熱分析 |
| Marc | 有限元素法(FEM) | 非線性問題、接觸問題、材料非線性、熱-機耦合分析 |
| Actran | 有限元素法(FEM)、邊界元素法(BEM) | 聲學模擬、聲場分析、噪聲控制 |
| Cradle CFD (scFLOW, scSTREAM) | 有限體積法(FVM) | 計算流體動力學（CFD）、熱傳遞分析、流體流動模擬 |
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