收斂準則是判斷「疊代修正到什麼程度可以停」的規則。可用預設的相對殘差力檢查：最大殘差力除以最大反力小於容差值，就算收斂。
內容依據 Marc 2025.1 Volume A 第 11 章 Convergence Controls 重新撰寫詮釋。
重點摘要
- 收斂準則決定每次疊代後是否進入下一個增量，主要依據指標和容差的比較。
- 有兩種容差策略：相對容差以參考量作為分母，絕對容差直接設定數值。
- 三種基本檢查方式包括殘差檢查、位移檢查和應變能檢查，各適用於不同情況。
- 組合檢查可同時考量殘差和位移，並在特定情況下提供更穩定的收斂判斷。
- 當相對容差失效時，可以改用有效的檢查方式、絕對容差或組合檢查。
在「非線性分析收斂」系列第二篇中講了四種疊代法，它們決定的是「每次疊代怎麼修正」。但修正一次之後，還要有人決定「是否修正足夠」，夠了就進入下一個增量，不夠就再疊代一次。這個判斷就是收斂準則，也就是系列第一篇流程圖裡「收斂」那一格。這一篇文章，我們就來一起了解什麼是收斂準則，你在分析時又該怎麼選擇呢?
收斂準則在檢查什麼？
收斂準則就是每次疊代後，拿一個「還差多少」的指標和容差比較：小於容差就停，大於容差就再疊代。差別只在於「還差多少」要用什麼來量：力、位移，還是能量。
這個指標可以用兩種方式和容差比：
- 相對容差：拿誤差除以一個「參考量」，是相對值。例如殘差力除以反力、修正量除以本次增量的位移。優點是不用管單位和模型大小，一個比例就能套用在各種問題上。
- 絕對容差：直接拿誤差和一個數值比，例如「殘差力小於 0.001 N」。不需要參考量，但數值要配合模型的單位與載重大小自己設定。
相對容差有個前提：參考量(也就是相對值的分母)不能接近 0。一旦反力或位移本身小到接近電腦的數值誤差，除出來的比例就沒有意義。
殘差(力)、位移、應變能：三種基本檢查方式
Marc 提供三種基本的收斂檢查，預設是殘差檢查。三種方式量的東西不同，適合的問題也不同。
| 檢查方式 | 比較什麼? (相對值) | 特點 |
|---|---|---|
| 殘差檢查（預設） | 最大殘差力 ÷ 最大反力 | 直接量不平衡力；有機會不用疊代就收斂 |
| 位移檢查 | 最後一次的位移修正量 ÷ 本增量的位移 | 不需要反力 |
| 應變能檢查 | 最後一次的應變能修正 ÷ 本增量的應變能 | 檢查整個模型的整體精度 |
殘差檢查：不平衡力 VS 反力
殘差力（residual force，亦稱不平衡力）是外力和內力還沒抵銷的部分。殘差檢查拿整個模型裡最大的殘差力，和最大的反力比：
其中 ε 是容差。力矩也用同樣的方式，和另一個容差比較。殘差檢查之所以最常用，是因為疊代的目標就是讓結構達到平衡，也就是讓殘差力趨近於 0。直接拿殘差力來判斷，等於直接檢查「離平衡還差多少」。另外，如果載重一加上去殘差就已經夠小，甚至可以不用疊代就算收斂。
「最大反力」來自受約束的地方。以懸臂樑為例，載重作用在樑上時，固定端會受到牆的支撐，讓那一端不會移動或轉動，這個支撐力就是反力。反力是維持平衡本來就需要的力，不是「沒平衡」的部分，所以不算殘差。模型裡所有受約束處的反力都會被收集起來，取最大的一個當作公式的分母。接觸也是一種約束，接觸力同樣當作反力看待。
不過有些狀況，不能用殘差檢查。例如：沒有反力，像是自由熱膨脹。這時沒有參考量可以比，要改用位移檢查。
位移檢查：拿最後一次修正量和本增量位移比
位移檢查看的是：最後一次疊代還在改多少位移。如果這次的修正量和整個增量的位移相比已經很小，就代表解穩定下來了：
其中 δu 是最後一次疊代的位移修正量，Δu 是這個增量的位移變化，ε 是容差值；轉角也用同樣的方式比較。缺點是一定要先疊代一次才有「修正量」可以比，所以就算第一次就已經很準，也至少會疊代一次。
應變能檢查：看整個模型的能量還在變多少
應變能檢查和位移檢查的想法類似，只是比較的是整個模型體積積分後的應變能 (strain energy)：最後一次疊代的應變能修正，除以本增量的應變能。因為是整體的量，它評估的是整個模型的精度，而不是某一個節點的局部精度；缺點和位移檢查一樣，至少要疊代一次。
組合檢查：殘差〈或〉位移、殘差〈且〉位移
不同問題需要不同的檢查方式，到底什麼時候該用哪一種？下面這個表格給大家參考，除了單一檢查條件，也可以把殘差與位移組合起來使用：
| 檢查組合 | 什麼時候算收斂? | 適合的情況 |
|---|---|---|
| 殘差或位移（OR） | 兩個檢查中有一個收斂就算 | 反力或位移其中一個可能很小、需要另一個來支援的問題 |
| 殘差且位移（AND） | 兩個檢查同時收斂才算 | 對精度要求較高、力與位移都要穩定的問題 |
OR 比較寬鬆，容易收斂；AND 比較嚴格，疊代次數通常較多。
是不是有一個疑問，為什麼組合檢查沒有應變能的選項呢？組合檢查只搭配殘差與位移兩種方式；應變能檢查是評估整個模型的整體精度，是單獨使用的。
何時相對容差不能用？
有些分析裡，最大反力或最大位移會小到接近電腦的捨入(四捨五入的”捨入”)誤差。這時「除以一個接近 0 的數」得到的比例沒有意義，相對容差就會不能用，分析可能因此提早結束。
下表整理了四種典型情況，來看各種檢查容差是否可以使用：
| 分析類型 | 位移／轉角 | 殘差力／力矩 | 應變能 |
|---|---|---|---|
| 無應力運動（stress-free motion） | 可以用 | 不能用 | 不能用 |
| 回彈（springback） | 不能用 | 可以用 | 不能用 |
| 自由熱膨脹 | 可以用 | 不能用 | 不能用 |
| 受限熱膨脹 | 不能用 | 可以用 | 可以用 |
表中「可以用」指該項的相對容差檢查可以正常運作。以自由熱膨脹為例：結構可以自由伸縮，幾乎沒有反力，所以相對殘差力檢查失效；但結構確實在變形，相對位移檢查仍然有效。反過來，受限熱膨脹的結構動不了，幾乎沒有位移但反力很大，所以殘差力與應變能檢查有效、位移檢查失效。
相對容差不能用怎麼辦？
參考量(分母)接近 0 時，可以從三個方向處理：
- 改用仍然有效的檢查方式：對照上表，選該情況下有效的那一種。例如自由熱膨脹沒有反力，就改用位移檢查；受限熱膨脹幾乎沒有位移，就改用殘差檢查。
- 改用絕對容差：不再除以參考量，直接規定殘差力或應變能要小於某個數值。數值要依模型的單位與載重大小設定。
- 使用組合檢查：殘差或位移（OR）只要其中一個仍然有效，就能判斷收斂。
有些軟體也能在分析中自動偵測反力或位移是否過小，暫時切換到仍然有效的檢查方式，等情況消失後再恢復原本的設定。
收斂準則怎麼選？
上面講這麼多，工程師的問題還是，到底什麼時候用哪一種收斂檢查？軟體都有預設值，當你沒有把握時，就先用最常用的殘差力檢查。然後請你建立自已的思考邏輯，遇到下列情況再調整。
怎麼判斷？依序問自己四個問題
- 模型沒有反力嗎（例如自由熱膨脹）？→ 沒有反力：殘差檢查無法使用，改用位移檢查。
- 分析中反力或位移可能小到接近 0 嗎（無應力運動、回彈、自由或受限熱膨脹）？→ 對，可能接近0：改用仍然有效的檢查方式、絕對容差，或組合檢查。
- 在意整個模型的整體精度，而不只是單一節點嗎？→ 是：可以考慮應變能檢查。
- 以上皆非：用預設值(應該是殘差力)檢查。
看到這裡，會不會有點迷糊了？其實這篇讀起來相對簡單，收斂準則和第二篇的疊代法是兩件事。疊代法相對難些。你可以這樣記：疊代法決定「怎麼修正」，收斂準則決定「修正到哪裡可以停」。兩者都設定好，每個增量的疊代迴圈才完整。
常見問題
A：殘差力檢查：最大殘差力除以最大反力小於容差就算收斂，這也是 Marc 軟體的預設。原因是殘差力直接代表「還沒平衡」的量，而且有機會不用疊代就收斂。
A：常見的可能原因是相對容差失效。自由熱膨脹幾乎沒有反力，相對殘差檢查無法運作；受限熱膨脹幾乎沒有位移，相對位移檢查無法運作。可以改用仍然有效的檢查方式，或改用絕對容差。
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