非線性分析如何求解? 增量和疊代

非線性問題的勁度會隨位移、應力或接觸狀態改變，無法寫成一組線性方程式一次解完。因此有限元素軟體會把載重切成很多小步，每走一步就反覆修正，直到這一步的力量達到平衡，再走下一步。

內容依據 Marc 2025.1 手冊 Volume A -〈Solution Procedures for Nonlinear Systems〉重新撰寫詮釋。

前面讀完什麼是非線性分析系列文章，我們知道了非線性的來源，以及它會讓求解方程式變成什麼樣子，以至於無法一次求解到位。這也說明了非線性問題的複雜性。那麼實務上要如何處理非線性的問題，CAE軟體又是怎麼做的呢? 這系列這篇文章是「非線性分析收斂」系列的第一篇，這個系列我們會帶你用淺顯易懂的方式了解收斂計算如何運作。

什麼是非線性問題？為什麼不能一次解完？

非線性問題是指結構的勁度 k 會隨著解本身改變的問題，例如材料降伏、大位移，或接觸狀態從分開變成接觸。因為勁度要等解出來才知道，所以這類問題「永遠無法」寫成一組線性方程式一次求解。

Cadence 的 進階非線性軟體 – Marc ，它的使用手冊對非線性分析的說明很直接，通常是比線性分析更複雜、更昂貴，需要工程師深厚的知識和經驗判斷力，也常常要跑好幾次才能得到理想的結果，這就是常聽到在非線性求解計算中的增量和疊代 ( 也有人寫成 迭代，這裡”疊”字的意思較為接近。），一步步逼近解答。

在 Marc 中常見的非線性來源包括：

• 彈塑性（elastic-plastic）材料
• 非線性彈簧與非線性基礎
• 大位移（large displacement）
• 間隙（gap）與接觸
• 潛變（creep）、黏彈性等與時間相關的材料

增量與疊代是什麼?

增量負責「把路分段走」，疊代負責「把每一段走準」。兩者配合，才能讓非線性的解沿著正確的平衡路徑前進。

• 增量（increment）：把總載重或總時間切成多個小步，每一步只施加其中一部分。
• 疊代（iteration，Marc 也稱 recycle）：在同一個增量內反覆修正位移，直到增量結束時的狀態滿足平衡。

每一次的疊代怎麼運作?

每加上一小段載重，軟體會先用當下的勁度，算出一個「暫定」的位移。接著拿這個位移去算結構內部的抵抗力（內力），再和外加的載重比較。

如果內力剛好等於外力，結構就是平衡的；如果不等，兩者的差就是殘差力（residual force，亦稱不平衡力）。軟體接著解下面這組方程式，算出位移該修正多少：

其中 K 是當下的勁度矩陣，δu 是對增量位移的修正量，r 是殘差力（residual force），也就是外力與內力之間尚未平衡的部分。每解一次，位移就更新一次，殘差力應該隨之變小；當殘差小到符合收斂準則 (一般使用者都可以在 CAE 軟體內設定)，這個增量就算完成，能進入下一個增量。

然而，疊代並不是每次都會發生，發生的次數也不一定。非線性問題求解「一定」需要增量，但「有時」才需要疊代。是否需要疊代、要幾次，取決於該增量內非線性的強弱，以及你設定的收斂容差值。假使你設定只能疊代20次，但真的進行了20次還沒有到達你設定容許的收斂數值，計算也會停止。

常見的疊代法，也是 Marc 支援的方法有四種：

• Newton-Raphson
• Modified Newton-Raphson
• 搭配應變修正的 Newton-Raphson（strain correction）
• 直接代入法（direct substitution）

四種方法的差異與選用時機，在這裡就先不詳述。

為什麼疊加原理在非線性分析中不能用？

在前面一段，我們了解到非線性問題求解必須一個增量一個增量往前推進。有人會問說這不同於線性分析常用到於求解的疊加原理，為什麼不能沿用疊加原理來求解非線性問題呢?

疊加原理（principle of superposition）是指：在線性系統中，多個載重同時作用的反應，等於各個載重單獨作用時反應的總和。舉例來說，載重 A 讓結構位移 2 mm，載重 B 讓結構位移 3 mm。在線性問題中，A 和 B 一起作用時，位移就是 2 + 3 = 5 mm；載重 A 加倍，位移也剛好變成 4 mm。所以線性分析常把各種載重工況分開算，再依需要組合，可以省下大量重複計算。

疊加原理成立的前提是勁度固定不變。非線性問題的勁度取決於當下的狀態，先加載重 A 會改變結構對載重 B 的反應，所以兩者同時作用的結果，不等於各自單獨計算再相加。因此，非線性問題不能套用疊加原理。

這對實務計算上有兩個直接影響，非線性問題：

• 不能分開算再組合：多個載重工況要照實際的施加順序，在同一個分析裡依序加上。
• 載重歷程會影響結果：例如塑性變形後卸載，結果和直接加到最終載重不同。

那麼，非線性問題一定有解嗎？

不一定。兩件容易被忽略的事，也是提醒初學者注意：

• 非線性問題不一定只有唯一解。
• 有時問題看起來定義正確，可能根本沒有解。

所以分析不收斂時，除了檢查增量步、容許差值等數值設定，也要回頭確認物理上是否真的存在平衡解。當同一個載重對應多個位移解（例如挫屈後的 snap-through），就需要弧長法(Arc length)這類特殊的求解策略。

每個增量裡，非線性要怎麼放進方程式？

前面說明了非線性問題必須一個增量一個增量地求解。接下來的問題是：在每個增量裡，材料或幾何的非線性要怎麼放進 K δu = r 這組方程式？不同的非線性，進到方程式的方式也不同，大致分成兩種：

• 切線模數法（tangent modulus method）：把非線性反映在勁度上。例如材料降伏後變軟，就改用較小的勁度。塑性、大位移、接觸都屬於這一類。
• 初始應變法（initial strain method）：勁度維持不變，把非線性轉成一股額外的載重。潛變、黏彈性這類會隨時間慢慢變形的材料，屬於這一類。

這兩種方法不需要使用者自己選。Marc 會依照你定義的材料行為自動採用；如果同一種材料同時有塑性和潛變，兩種方式也會一起使用。所以使用者要做的是兩件事：

1. 把材料行為正確定義好。
2. 依分析類型設好收斂控制。一般分析在 CONTROL 中設收斂容差與疊代次數；潛變分析還要在 AUTO CREEP 或 AUTO STEP 中，限制每一步的應力變化與潛變應變增量。

增量法 、 求解方程式、疊代法

看到這裡，有覺得迷糊了嗎? 我們先來釐清前面講到的內容，也是三個容易混在一起的觀念，了解後就知道是不同層次的東西：

概念	回答求解過程的什麼問題?	Marc 軟體內的設定
增量法	載重或時間要怎麼分段施加？	固定增量（如 AUTO LOAD）或自適應增量（如 AUTO STEP）
求解方式	非線性的影響要反映在勁度上，還是轉換成額外的載重？	切線模數法或初始應變法
疊代法	每個增量內怎麼修正到平衡？	Newton-Raphson 等四種

三者是上下層的關係，不是互相取代：先用增量法把路分段，每一段用其中一種求解方式建立方程式，再用疊代法修正到收斂。

第一次跑非線性分析，怎麼設定？

問題來了，講這麼多我是新手該怎麼做呢? 對於簡單的問題，可能使用預設就有解答了，有沒有非常仔細的調教差異不會太大。但這篇文章的目的是要讓大家從根本學習，所以我們還是按部就班來。實際要設定的就是兩件事：增量要切多細、疊代要做到多準。這兩件事決定了計算時間，也決定了分析能不能收斂。

第一次試算的目標是：用最少的計算時間，取得最多資訊。先找出非線性變化最劇烈的載重區段，再針對那一段加密增量，比一開始就用細密設定硬跑更有效率。建議初步分析採用以下三個做法：

1. 盡量減少自由度：網格越少(節點少)、模型越小，每次疊代越快。
2. 增量數減半、每步加倍：用較大的增量步快速走完整個載重歷程。
3. 使用較寬鬆的收斂容差值：收斂容差值是「殘差力要小到多小才算收斂」的標準。放寬一點，疊代次數就會減少。

正式分析的增量數，可以套用軟體給我們的經驗法則：非線性結果曲線需要幾條直線段才能擬合，就至少要有幾個增量。曲線平緩的區段可以用大步，轉折劇烈的區段就要切細。

收斂容差值在哪裡設定？

同樣以 Marc 軟體來說明，收斂容差、最大與最少疊代次數這些控制值，都在 CONTROL 選項中設定。它可以在模型定義階段設一次，也可以在之後的載重案例中重新設定，或在重啟（restart）分析時修改。也就是說，試算時用的寬鬆容差，正式分析時可以直接收緊，不必重建模型。

「殘差力小到多少」要怎麼衡量，Marc 有好幾種收斂準則可選，這裡就不詳細說明，留給之後的文章。

增量要自己設，還是讓軟體自動調整？

增量太大，每個增量要疊代很多次，甚至不準、不收斂；太小又浪費計算時間。你也能自己調整：

方式	步長怎麼決定	靜態分析常用選項
固定（fixed）	自己設定，整個載重案例內不變	AUTO LOAD
自適應（adaptive）	軟體依收斂情況自動放大或縮小	AUTO STEP（預設）

AUTO STEP 會拿每個增量實際用了幾次疊代，和你設定的「期望疊代次數」比較。容易收斂就把下一步放大，不收斂就縮小步伐重算，這個動作稱為 cutback。

用固定增量時也可以開啟 cutback：某個增量算不下去時，退回上一個增量的狀態，將步長減半重算，直到收斂或達到設定的縮減次數。至於遇到挫屈後載重反而下降的情況，則要用 AUTO INCREMENT 的弧長法，這裡就不詳述了。

結語: 最後請記住這張圖

前面講了這麼多，是否仍然覺得好複雜?別擔心這是很正常的，畢竟 CAE 沒有簡單的事，簡單的事情也不見得會是我們來學。現在通通忘記不懂也沒關係，下面這張圖把非線性問題在數值上求解，增量和疊代產生的迴圈關係畫出來了，先弄清楚這張圖能說故事就好。

常見問題

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