材料一旦降伏，就再也回不去原本的形狀。本文從虎克定律 σ=Dε 的 D 為常數出發，材料降伏之後 D 怎麼變成 Dep (ep:elastic-plastic)，勁度矩陣 K 又是怎麼隨材料的狀態改變的。
重點摘要
- 非線性分析中，材料的彈塑性是常見特性，超過降伏應力後應力-應變關係變化。
- 在彈性階段，材料遵循虎克定律，D為常數，並不會改變結構勁度矩陣K。
- 當應力超過降伏點，材料產生塑性變形，D開始隨應力狀態變化。
- 卸載路徑和加載路徑不同，塑性變形不會完全恢復，影響結構的殘餘應力與疲勞壽命。
- 實務中，頸縮現象可能導致結構不穩定，需要更細的網格或穩定的求解策略。
在介紹結構非線性分析的文章 – 線性只是理想，非線性才是現實？當 P≠Ku ，我們了解到 CAE 工程師最困擾的非線性是什麼，以及造成力學行為呈現非線性的原因，包含材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性。這篇文章就讓我們更進一步了解，材料非線性中最常遇到的彈塑性（Elasto-plasticity），材料超過降伏應力後，應力 – 應變關係產生變化，為什麼我們肉眼看它形狀「回不去」。至於材料非線性的其他狀態，像是潛變、黏彈性這類跟時間有關的材料行為，不在這篇文章的範圍內。
彈性階段：D 是常數
在彈性範圍內，材料的應力（stress, σ）與應變（strain, ε） 之間，遵循最簡單的線性關係——虎克定律（Hooke’s Law）：
這裡的 D 就是材料的彈性係數矩陣，對簡單的一維情況來說就是我們熟悉的楊氏係數（Young’s Modulus, E）。這個關係式裡，D 是一個固定不變的常數，只要材料還沒有超過彈性極限（降伏應力 σy），不管你怎麼加載、卸載，應力應變關係永遠沿著同一條直線走，而且卸載後材料會完全恢復原狀，不留下任何永久變形。
這正是「彈性」這個詞的字面意義：像彈簧一樣，拉開之後放手，它會彈回原本的樣子。也因為 D 是常數，這個階段的材料行為完全不會讓結構的勁度矩陣 K 產生非線性——如果整個結構全程都停留在彈性範圍內，就算變形、受力再怎麼變化，K 依然固定不變。
等等，彈性就是線性嗎? 這裡是很容易搞混的地方。
事實上，「彈性」和「線性」是兩件不同的事，不要把它們畫上等號。
彈性指的是「卸載後能不能完全恢復原狀」（可逆性），線性指的是「應力應變關係是不是一條直線」（D 是不是常數）。金屬或者一般塑膠在彈性範圍內剛好兩者都成立，所以容易讓人誤以為「彈性=線性」；但像橡膠這類超彈性材料（hyperelastic），卸載後一樣能完全恢復原狀（是彈性的），但它的應力-應變關係從頭到尾都是有彎度的曲線（是非線性的），橡膠沒有一段「D 為常數」的線性階段。
這篇接下來談的降伏、塑性，只適用於像是常見的金屬或塑膠這類「先線彈性、後非線性」的材料，超彈性材料的非線性行為模式跟這裡完全不同，之後會再另外討論。
降伏：D 開始變化，材料從彈性進入塑性
但當應力超過材料的降伏應力 σy，情況就完全不同了。材料開始產生塑性變形（plastic deformation）——這是一種不可逆的變形，材料的內部結構已經發生永久性的改變。
這時候，應力應變曲線不再是一條直線，而是彎曲、趨緩，如下圖所示：
這就是材料非線性最核心的機制：一旦超過降伏點，D 就不再是常數，而是依賴目前的應力狀態與硬化歷史而變動的量，而降伏後的這個矩陣稱為彈塑性模數 Dep，用來跟彈性階段的 D 做區分。整個系列所談的「K 隨狀態改變」，在材料非線性這裡，因為「D 隨應力狀態改變，進而讓 K 改變」。
關鍵定義：降伏（Yield）是材料從彈性行為轉變為塑性行為的臨界點，超過這一點後，材料的應力應變關係矩陣 D 不再是常數，而是隨當前應力大小與硬化狀態動態變化的量（ Dep）。
為什麼塑性變形回不去
從上面那張圖不難發現一件事：卸載路徑跟加載路徑不是同一條線。這跟彈性行為完全不同。彈性材料不管加載卸載都走同一條直線，來回可逆；但塑性材料一旦跨過降伏點，卸載時只會沿著彈性斜率往回走，卻永遠回不到原點。
想像你把一個鐵製的衣架凹彎。只要彎曲角度不大（彈性範圍內），放手後它會自己彈回原狀；但如果你凹得夠用力（超過降伏），放手後它不會完全回彈，會停留在一個「彎過的形狀」，這個回不去的部分，就是塑性應變。材料彷彿有了自己的「形狀記憶」：它記住了自己曾經被凹到哪個程度，而且這段記憶不會隨著外力移除而消失。
這也解釋了為什麼材料非線性分析在工程上特別重要：如果一個結構在某次載重下局部降伏了，即使後來把外力完全移除，結構也不會回到原本的形狀。這對於評估結構的殘餘應力、疲勞壽命、二次使用安全性都有直接影響。以上這些都是單純只用彈性分析（線性分析）完全看不到的效應。
材料非線性的幾種狀態
| 材料類型 | 特性描述（原文） | Marc 對應模型 |
|---|---|---|
| Composites 複合材料 | 異向性；分層或纖維強化 | Composite continuum elements / Rebars |
| Creep 潛變 | 應變隨時間在定應力下增加；應力隨時間在定應變下下降；潛變應變是非瞬時的 | ORNL, Norton, Maxwell |
| Elastic 彈性 | 應力只是瞬時應變的函數；線性載重-位移關係 | Hookes Law |
| Elastoplasticity 彈塑性 | 需要降伏條件、流動法則、硬化法則才能計算應力與塑性應變；卸載後永久變形 | von Mises Isotropic, Cam-Clay, Hill’s Anisotropic, Generalized Mohr-Coulomb |
| Hyperelastic 超彈性 | 應力是瞬時應變的函數；非線性載重-位移關係；卸載路徑與加載路徑相同 | Mooney, Ogden, Arruda-Boyce, Gent, Bergstrom Boyce |
| Hypoelastic 亞彈性 | 應力應變關係為速率形式 | Buyukozturk（混凝土） |
| Viscoelastic 黏彈性 | 應力在載重下具時間相依性；卸載後完全恢復 | Simo Model, Narayanaswamy |
| Viscoplastic 黏塑性 | 塑性與潛變現象的結合 | Power law, Shima Model |
| Shape Memory 形狀記憶 | 超彈性與形狀記憶效應，伴隨相變 | Auricchio, Thermomechanical |
特別留意：彈塑性是「材料超過降伏點之後才開始非線性、而且不可逆」；超彈性則是「材料從一開始就是非線性、但完全可逆」。例如：橡膠沒有「降伏」這個概念，它本質沒有線性階段。這篇談的降伏機制，只解釋彈塑性這一格，超彈性的非線性成因會在其他篇章另外說明。
頸縮 Necking
材料非線性除了改變 D 這件事本身，在實務模擬中還會衍生出一個常見的挑戰：當材料進入大範圍塑性變形後，結構有可能會出現局部失穩，也就是俗稱的「頸縮」（necking）現象。
以一根受拉伸的彈塑性桿件為例，材料的真實應力變化率與真實應變率的關係是：
其中 H 是材料的硬化模數。但桿件受拉時，因為材料不可壓縮（體積不變），截面積 A 會隨著拉伸而變小。把這個效應考慮進去後，可以推導出施力速率的關係：
A：桿件截面積 , F：拉伸桿件的力
這個式子透露出一個重要訊息：當應力 σ 大於硬化模數 H 時，施力速率會變成負值。也就是說，即使結構持續在變形，它能承受的外力反而在下降。這代表結構已經進入不穩定狀態，數值上為勁度矩陣趨近奇異（nonpositive definite），這也是為什麼大應變塑性分析經常需要搭配網格細化、或改用更穩定的求解策略，否則計算很容易在 necking 發生的瞬間停住或發散。
你有沒有注意到，「頸縮」已經悄悄把材料非線性和幾何非線性連在一起了（同時牽涉材料降伏與截面形狀改變）。這正是為什麼實務上的非線性問題經常不會只有單一來源，通常是多種來源一起呈現非線性行為。
結論
這篇談的彈塑性，是材料非線性分析實務上最常遇到的材料特性。最理想是工程師本身也做過材料實驗，使用材料測試機，做過拉伸、壓縮等的材料實驗，這樣就會對於”材料係數”或者模擬分析需要什麼實驗數據，非常清楚。當然不同的材料本質，和產品設計的使用情況，都會影響模擬分析需要什麼樣的材料實驗數據來輸入。這裡要記得材料數據輸入，會影響你的模擬分析結果。
常見問題
A：不等於。彈性指的是卸載後能否完全恢復原狀（可逆性），線性指的是應力應變關係是否為常數斜率的直線（D 是否為常數）。舉例來說: 有金屬在彈性範圍內剛好兩者同時成立，但橡膠這類超彈性材料雖然是彈性的（卸載完全恢復），應力應變關係卻從頭到尾都是非線性的，兩者不能畫上等號。
A：常見的挑戰是大應變塑性下的局部失穩（頸縮），此時結構能承受的外力會隨變形增加反而下降，勁度矩陣趨近奇異，容易造成計算不收斂，通常需要更細的網格或更穩定的求解策略來處理。
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