潛變、放鬆、黏彈性、黏塑性這四種材料行為的共通點，是它們的 D 矩陣（應力應變關係矩陣）不只跟「當下的應力狀態」有關，還跟「時間」綁在一起。 上一篇談的彈塑性，D 只在應力超過降伏點之後才開始變化，而且只看「當下」的應力大小；這篇要談的四種行為，D 的變化還牽涉到「時間經過了多久」。
重點摘要
- 潛變與彈塑性的主要差異在於潛變不需要降伏應力，任何應力下都可能出現且隨時間變化。
- 應力鬆弛是維持固定變形所需應力隨時間下降的現象，與潛變實質上反映相同的物理機制。
- 黏彈性材料的行為雖隨時間變化，但具可逆性，涉及溫度影響。
- 黏塑性同時受應力門檻和應變率影響，時間透過應變率呈現，並不是直接寫入方程式的變數。
- 這四種材料行為都屬於非線性分析，關鍵在於它們的應力應變關係不再固定。
繼上一篇我們了解到什麼是材料非線性，以及在模擬分析上常見的彈塑性材料之後，這一集要來看其他常見的非線性材料行為，也都是產品上常會用到的材料，當然在模擬分析上也需要很好的掌握。
大綱
潛變 Creep：ε 隨時間持續改變（固定應力）
潛變的定義：
Creep is a time-dependent inelastic behavior that can occur at any stress level, either below or above the yield stress of a material. （潛變是一種隨著時間變化的非彈性行為，可以發生在任何應力值，可以是低於或高於材料的降伏應力。）
這是潛變跟彈塑性最根本的差異：彈塑性一定要應力超過降伏點才會非線性；潛變不需要這個門檻，任何應力值下都可能發生，差別只在於有沒有經過足夠的時間。也就是時間才是關鍵因素。
在 Marc 進階模擬分析軟體 的 Volume A 文件中，用一條方程式描述潛變的變化速率，稱為等效潛變律：
：潛變應變速率（equivalent creep strain rate)，：等效應力（von Mises 等效應力）代表當前材料所承受的應力大小，：等效潛變應變，T：溫度，t：時間，f( )：函數關係，代表潛變速率是由前面這四個變數共同決定的結果。
這條方程式清楚寫出潛變速率是四個變數的函數：當前應力、已累積的潛變應變、溫度、時間。溫度在這裡是正式出現在方程式裡的變數，代表潛變行為對溫度是敏感的，這也是為什麼潛變常常在高溫環境（渦輪葉片、核反應爐管線）特別受到重視。
固定應力下，應變隨時間持續增加，這代表材料的割線模數（ Secant Modulus, σ/ε，應力與總應變的比值）會隨著時間持續下降，即使外加的應力從頭到尾都沒有改變。
鬆弛 Relaxation：σ 隨時間改變趨近平衡 (固定應變)
這是 Marc 的 Volume A 對潛變的描述，裡面也涵蓋了應力鬆弛。
Strains increasing with time under constant load. Stresses decreasing with time under constant deformations. （應變隨時間在定應力下增加；應力隨時間在定應變下降。）
應力鬆弛就是後半句描述的現象：把材料固定在某個變形量不動，維持這個變形所需要的應力會隨時間持續下降。
從 σ/ε 的角度看，放鬆跟潛變其實是同一個物理機制的兩種觀察方式：固定應變、應力往下掉，割線模數 σ/ε 同樣是隨時間持續下降的。差別只在於你固定的是哪一個變數，固定應力看應變（潛變），固定應變看應力（鬆弛），兩者背後反映的都是「σ/ε 隨時間衰減」這件事。
黏彈性：σ/ε 隨時間變化，但最終可逆
黏彈性常被拿來跟潛變放在一起討論，因為兩者都跟時間有關，但兩者有一條清楚的界線。
Viscoelastic 黏彈性：應力在載重下隨時間改變；但是卸載後完全恢復。
潛變是不可逆的（inelastic），黏彈性卻是「卸載後完全恢復」。也就是說，黏彈性材料應力應變比值會隨時間變化（材料剛受力的瞬間反應，跟維持一段時間後的反應不一樣），但這個變化過程是可逆的，不會留下永久的殘留應變。
另外，黏彈性材料跟溫度也有特殊的關聯，Thermo-Rheologically Simple behavior（TRS，熱-流變簡單行為）：
A special class of temperature dependence known as the Thermo-Rheologically Simple behavior (TRS) is also applicable to a variety of thermal viscoelastic problems.
在 CAE 模擬分析，可以用 Williams-Landel-Ferry (WLF) 方程式、Arrhenius model 這類模型，來描述溫度怎麼影響黏彈性材料的時間相依行為。這代表黏彈性跟潛變一樣，溫度也是一個關鍵變數。
溫度之外，黏彈性材料行為可以用彈簧（elastic element）加阻尼器（viscous element，dashpot）組合的模型來描述，常見的有 Kelvin model 和 Maxwell model。這裡不深入模型的數學細節，重點是理解：彈簧保證材料終究會恢復原狀，阻尼器則讓這個恢復過程需要時間，而不是瞬間發生。
關鍵定義：潛變、應力鬆弛的應力應變比值產生的變化都是不可逆的；黏彈性的應力應變比值雖然同樣隨時間變化，但這個過程是可逆的，卸載過程不隨原路回去，但最終會回到初始的狀態。
黏塑性：σ/ε 同時被應力門檻和應變率牽著走
黏塑性（Viscoplasticity），Marc 的 Volume A 的描述是：
Combined plasticity and creep phenomenon.（塑性與潛變現象的結合）
黏塑性同時具備「需要超過降伏應力」（像彈塑性）和「隨時間變化」（像潛變）兩種特徵。這裡要特別澄清一個容易搞混的地方：黏塑性感受時間的方式，是透過應變率，而不是像潛變、黏彈性那樣把溫度 T 直接寫進方程式裡。黏塑性的求解程序，明確用到應變率這個變數：
The most highly stressed element usually yields the maximum strain rate.
這句話點出黏塑性求解過程中，應變率是決定計算行為的關鍵。初始時間步的選取，就是依照結構中應變率最高的位置來決定的（這部分屬於求解方法的細節，我們在這裡不討論）。
這裡要注意的是，應變率本身就是時間的函數（應變率 ε̇ = dε/dt，就是應變對時間的變化速度），所以黏塑性當然仍然是時間相依的行為，跟開頭說的「這四種行為都跟時間綁在一起」並不矛盾，它只是不像潛變、黏彈性那樣，把時間 t 直接當成方程式裡的自變數，而是透過「應變率的快慢」來呈現時間的影響。我們在 Marc 的 Volume A 文件黏塑性段落並沒有像潛變、黏彈性那樣提到溫度的影響，所以黏塑性的應力應變比值，是被「應力有沒有超過降伏門檻」和「應變率多快（也就是時間）」這兩件事共同牽著走的，不宜把潛變、黏彈性的溫度相依性直接套用到黏塑性上。
非線性材料
到這裡，我們了解這四種材料行為的 σ/ε 變化，可以統一收斂回”非線性”這個議題。結構的勁度矩陣 K，是材料的 D 矩陣（連結應力與應變的材料模數矩陣）跟結構幾何積分出來的結果（K = ∫BᵀDB dV）。前面用「應力應變比值（σ/ε）」來說明潛變、鬆弛等行為，是一維簡化下用來讓讀者直觀感受「這個模數不再是常數」的呈現方式。嚴謹來說，D 是矩陣形式，但不管是簡化的比值、還是完整的矩陣，核心邏輯是一致的：只要這個材料的應力應變關係不再固定，K 就會跟著變成非線性。不管是潛變、應力鬆弛、黏彈性還是黏塑性，只要 D 不再是常數，K 就會跟著變成非線性，差別只在於每一種行為讓 D 變動的「觸發條件」和「牽涉的變數」不一樣：
| 行為 | 應力應變比值的變化是否可逆 | 時間如何呈現 | 其他核心變數 |
|---|---|---|---|
| 潛變 | 否 | 直接作為方程式自變數 t | 應力、溫度 |
| 放鬆 | 否 | 直接作為方程式自變數 t | 應變 |
| 黏彈性 | 是 | 直接作為方程式自變數 t | 溫度 |
| 黏塑性 | 否 | 透過應變率 ε̇ 間接呈現 | 應力門檻 |
這四種行為，加上上一篇談的彈塑性，構成了材料非線性完整的樣貌。要特別注意的是，四種行為其實都是時間相依的，差別只在於潛變、放鬆、黏彈性把時間 t 直接寫進方程式，黏塑性則是透過應變率間接呈現時間的影響，不是「黏塑性跟時間無關」。
當然，材料非線性的材料種類，不只這幾種。另外有超彈性（Hyperelastic）複合材料（Composites）、亞彈性（Hypoelastic）、形狀記憶（Shape Memory）等類型，在模擬分析上，有適切的材料模型來因應。這在 Marc 的使用手冊和講義都有詳細說明，有興趣可以進一步研讀。
常見問題
A：彈塑性只有在應力超過材料的降伏應力後才會產生非線性行為；潛變不需要這個門檻，可以發生在任何應力水準下，差別只在於是否經過足夠長的時間。
A：是的。黏塑性同樣是時間相依的行為，只是它呈現時間的方式跟潛變、黏彈性不同——潛變、黏彈性把時間直接寫進方程式當自變數，黏塑性則是透過應變率（本身就是時間的函數）間接呈現時間的影響，兩者本質上都跟時間脫不了關係。
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