常見非線性疊代法：Newton-Raphson、Modified Newton-Raphson、Strain Correction 與 Direct Substitution。差別在於每次疊代時要不要重算勁度、怎麼計算應變。Newton-Raphson，適合大多數非線性問題。
內容依據 Marc 2025.1 Volume A 第 11 章；Volume E 範例 3.18、3.20、7.5重新撰寫詮釋。
重點摘要
- 非線性問題中，結構的勁度隨解而變，無法一次求解，需分增量逐步進行。
- 增量和疊代協作，幫助接近解答，增量負責分步施加負載，而疊代則持續修正以達平衡。
- 非線性求解可能有多解或沒有解，檢查增量和容差設定有助於收斂。
- 切線模數法和初始應變法是將非線性引入方程式的兩種主要方法。
- Marc 軟體支援多種共通的疊代方法，如Newton-Raphson，使用者必須正確定義材料行為。
在「非線性分析收斂」系列第一篇中講到，非線性分析會把載重切成很多增量，在每個增量裡反覆疊代，直到殘差力降到收斂容差內。這一篇要回答的是下一個問題：每次疊代到底怎麼修正？不同的修正方式各適合什麼問題？也就是我們必須去了解這些疊代法的運作原理。聽起來很枯燥的議題，但是弄懂之後相信必能讓你在工作上事半功倍，付出一點代價是值得的。
常見的 4 種疊代方法
在進階非線性軟體 Marc 中我們看到四種疊代法，Newton-Raphson、Modified Newton-Raphson、Strain Correction、Direct Substitution，相信這也是同性質軟體內常使用的方法。這些疊代法要解的都是同一件事：在一個增量裡，把外力和內力的差（殘差力）降到夠小。差別只在於每次修正時，用哪一個勁度、怎麼計算應變。
方法一. Newton-Raphson：每次疊代都重算勁度
Newton-Raphson（牛頓法）是在每一次疊代都依當下的位移，重新計算切線勁度，再用它來修正位移。每次疊代解的是：
K 是第 i−1 次疊代時的切線勁度矩陣，F 是外加節點載重，R 是由應力算出的內力，兩者之差就是殘差力。解出 δu 後更新位移，就完成一次疊代。
容差放寬到 10% 時，第 2 次疊代後就算收斂；收斂需要幾次疊代，取決於容差的設定。
- 優點：切線一直跟著結構真實的狀態走，收斂很快。對大多數非線性問題都能得到不錯的結果。
- 缺點：每次疊代都要重新組裝、分解勁度矩陣。大型 3D 問題搭配直接求解器時特別耗時；改用疊代求解器時，這個問題比較不明顯。
方法二. Modified Newton-Raphson：勁度只算一次，之後重複使用
Modified Newton-Raphson（修正牛頓法）和 Newton-Raphson 的做法類似，但不會在每次疊代重新組裝勁度矩陣。切線勁度只組裝、分解一次，之後每次疊代只需要算右邊的殘差力，再做一次回代（back substitution）。載重分增量施加時，會在每個增量開始時，或在指定的增量重算勁度。
- 優點：每次疊代的成本很低，因為不必重組、重分解勁度矩陣。
- 缺點：收斂比較慢。或者稱為是「線性收斂」，意思是每次疊代，殘差只會按差不多固定的比例縮小，例如每次都變成原來的七成多，所以需要很多次才能降到容差以下。手冊的原話是「疊代次數非常多、甚至不收斂的可能性相當高」。上圖和 Newton-Raphson 用同一條曲線、同樣 1% 的容差，次數從 3 次變成 16 次。
方法三. Strain Correction：大旋轉、小應變的殼與梁專用
Strain Correction（應變修正法）是 Newton-Raphson 法的一種變形，適用於「轉動很大、但膜應力很小」的殼與樑。膜應力（membrane stress）是構件整體被拉長或壓縮時產生的應力。用一把塑膠尺來做說明：把尺的一端按在桌上，另一端往上扳成大弧形，尺轉了很大的角度，本身卻幾乎沒有被拉長，膜應力很小，這就是 Strain Correction 適用的情況。如果兩手抓住尺的兩端用力往外拉，尺被拉長，才會產生明顯的膜應力。
這類問題的轉動增量通常遠大於應變增量，應變裡的非線性項可能比線性項還大。由於疊代一開始是用線性化的方式算位移增量，第一次疊代時，這些非線性項會讓算出的應變和位移對不上，結果算出錯誤的應力（若有塑性，塑性計算也會跟著出錯）。這些錯誤的應力又會影響後續的勁度矩陣，讓收斂變慢、表現變差。
Strain Correction 的做法是把應變增量拆成兩部分：
- 線性部分：用來計算應力。
- 非線性部分：不拿來算應力，而是留到下一次疊代或下一個增量，當成「初始應變」加進殘差力。
這樣位移增量和應變增量就能保持一致，大幅減少塑性計算與平衡的誤差。如果模型裡幾乎每個節點的位移都是直接給定、而不是由軟體算出來，這個方法的效果會比較差；不過一般分析很少這樣設定。
方法四. Direct Substitution：Eulerian 流動分析專用
Direct Substitution（直接代入法）只用在 Eulerian 公式的剛塑性流動分析（rigid-plastic flow，以 R-P FLOW 參數開啟）。這類分析忽略彈性變形，把材料當成流體，求解流動速度而不是位移，常用於擠製、滾軋等穩態金屬成形。
如何選擇適合的疊代方法?
剛開始學習分析都是使用預設值（Default），這個可以理解。事實上也不用太煩惱，實務上預設值能因應多數的狀況。不過我們既然要好好了解疊代方法，當然希望能夠設定得很聰明，然後每個設定都有所本。以下這個整理好的表格，給大家做參考。
| 疊代法 | 每次疊代重算勁度 | 收斂速度 | 適合 | 不適合 |
|---|---|---|---|---|
| Newton-Raphson | 是 | 快 | 大多數非線性問題 | 大型 3D 問題搭配直接求解器時耗時 |
| Modified Newton-Raphson | 否，只在增量開始或指定增量重算 | 慢（線性收斂） | 大型、只有輕微非線性的問題 | 接觸、材料突然進入非線性、使用疊代求解器 |
| Strain Correction | 是（但應變的非線性部分當初始應變處理） | — | 轉動很大、膜應力很小的殼與梁 | 位移增量幾乎全部是指定值 |
| Direct Substitution | — | — | Eulerian 剛塑性流動分析（R-P FLOW） | 一般結構分析 |
哪一種方法比較有效率，很大程度取決於問題的大小（模擬模型大小）。因為每次疊代大致要做三件事：1) 組裝勁度矩陣、2) 求解方程式、3) 由新的位移回推應力（應力回復）。Newton-Raphson 三件都做；Modified Newton-Raphson 不重新組裝、也不重新分解勁度矩陣，只做最後的回代和應力回復。
小型問題的求解時間本來就快，換成 Modified Newton-Raphson 省下的時間不多。所以 Modified Newton-Raphson 最有機會發揮的，是「大型、只有輕微非線性」的問題。
- 大型模型：求解最花時間，Modified Newton-Raphson 不必每次分解，省時效果明顯。
- 小型模型：求解時間本來就很短，換方法省不了多少。
- 大型但強烈非線性的模型：Modified Newton-Raphson 在組裝勁度矩陣上省下的時間，很容易被增加的疊代次數甚至不收斂抵銷。
怎麼判斷？依順序問自己四個問題
- 是 Eulerian 剛塑性流動分析（R-P FLOW）嗎？→ 是：用 Direct Substitution（預設）。
- 是轉動很大、膜應力很小的殼或樑嗎？→ 是：可以考慮 Strain Correction。
- 是大型、只有輕微非線性的模型，沒有接觸、使用直接求解器嗎？→ 是：可以考慮 Modified Newton-Raphson。
- 以上皆非，或不確定：用預設的 Newton-Raphson。
選錯疊代法會怎樣？
最常見的結果是疊代次數暴增，花了時間等待很久都還沒有算完，甚至不收斂；又或者出現一些奇怪的答案數據，沒有真的理解，胡亂設定就是出來瞎算的結果，操作者可能也沒有能力判別是否正確。
遇到不收斂時，怎麼辦呢?
非線性求解不收斂的狀況確實非常常見。這時候工程師要非常理性去看待計算收斂這件事，當然要先了解非線性的來源，理解為什麼這題求解特別不容易。這也是我們這一系列文章想要帶給大家的，讓大家有能力解決不收斂的問題。以下有幾點讓你檢查模型，作為參考：
- 邊界條件、材料、網格是否都有設定適當? 這題的行為在物理上可以合理解釋嗎?
- 是否用了 Modified Newton-Raphson，而模型有接觸、強烈塑性，或使用疊代求解器？是的話，先改回 Newton-Raphson。
- 是否在位移幾乎全部指定的問題上用了 Strain Correction？
- 疊代法之外，增量是否太大、收斂容差是否合理。
實務上還是建議與軟體的技術支援專家聯繫，我們這裡的資訊偏向理論上的介紹，模擬軟體使用上有很多秘技，需要經驗與專業知識融會貫通，當然每個人在分析的案例不同，遇到的挑戰也不同。
常見問題
A：可以考慮 Strain Correction。它適合「轉動很大、膜應力很小」的殼與樑：把應變增量拆成線性與非線性兩部分，只用線性部分算應力，非線性部分改當初始應變帶進下一次疊代，避免疊代時算出失真的應力。
A：看問題而定。Modified Newton-Raphson 每次疊代不重新組裝勁度矩陣，但疊代次數多很多；Newton-Raphson 每次重新組裝勁度矩陣，但收斂快。只有大型、輕微非線性的問題，Modified Newton-Raphson 才比較可能真的省時間。
你有非線性分析不能收斂嗎？有難解的工程模擬問題，或者不知道怎麼做模擬分析？歡迎報名 CAE軟體訓練課程，又或者與我們聯繫。