當結構撐不住自己的形狀！幾何非線性

幾何非線性是：就算材料完全維持線彈性（D 矩陣從頭到尾都是常數），結構的勁度矩陣 K 還是會因為「形狀本身的改變」而變成非線性。

前兩篇談的材料非線性（彈塑性、潛變、黏彈性、黏塑性），K 的非線性都是透過 D 矩陣的變化而來的；這篇要談的幾何非線性，是完全不同的。結構幾何形狀本身的改變，就足以讓 K 隨著變形程度不斷改變，跟材料的應力應變關係無關。

K0、K1、K2：形狀怎麼具體讓 K 改變

幾何非線性會導致兩類現象：結構行為本身的改變，以及結構穩定性的喪失。

把這件事寫成方程式，會長這樣：

這條式子把幾何非線性拆成三個部分：

• K₀（小位移勁度矩陣）：結構在小變形假設下原本就有的勁度，也是線性分析裡唯一會用到的那個 K
• K₁（初始位移勁度矩陣）：來自應變-位移關係裡的非線性項，當變形夠大時，應變不再與位移成正比，這個不成正比的部分，就會反映在 K₁ 上
• K₂（初始應力勁度矩陣）：結構「既有的應力狀態」反過來對勁度矩陣的貢獻，具體算法是：

其中 $S_{kl}$ 是應力（第二 Piola-Kirchhoff 應力），$N_{i,k}$ 是形狀函數梯度矩陣。這個式子的意思是：結構目前承受的應力大小，會直接參與決定 K₂ 的數值。

三者合起來，就是幾何非線性讓 K 改變的具體機制：只要結構產生了夠大的變形、或內部已經有應力存在，K₁ 和 K₂ 就不會是零，K 也就不再是線性分析裡那個固定不變的矩陣。

兩種參考座標：Total Lagrangian 與 Updated Lagrangian

知道了 K 非線性的來源，問題是我們怎麼描述結構怎麼變形呢？在模擬分析實務上，可以選擇兩種不同的參考座標：1) Total Lagrangian（總體 Lagrangian 法）：全程都以結構最初未變形的狀態當基準；2) Updated Lagrangian（更新 Lagrangian 法）：以結構當前最新的變形狀態當基準。

1. Total Lagrangian 在 Marc 裡透過 LARGE DISP 參數啟用，這個模式下程式使用並輸出第二 Piola-Kirchhoff 應力與 Green-Lagrange 應變，適合處理大增量旋轉、大增量應變的分析。這個方法特別適合非線性彈性問題，也適合樑、殼這類旋轉量中等大、但應變本身不大的塑性或潛變問題。
2. Updated Lagrangian 則是把參考座標設定在「當下這一步」的變形狀態，採用真實應力（Cauchy stress）搭配能量共軛的真應變（true strain）。這個方法特別適合兩種情況：一是旋轉量大到曲率表達式裡的非線性項不能再被忽略的樑、殼結構分析；二是大應變的彈性、塑性分析。

上圖說明，同一段變形歷史，可以用兩條路徑描述：Reference→Current（藍色，F）是全程以最初狀態為基準，對應 Total Lagrangian；Previous→Current（綠色，f）只看這一步的增量，對應 Updated Lagrangian。兩條路徑透過 Fₙ₊₁ = f·Fₙ 這個「接續作用、以乘法合成」的關係串起來。

理論上和數值上，只要把整套數學方程式，包含本構方程式（Constitutive Equation，描述應力應變關係的方程式）、應力應變的座標轉換，都正確建立、正確處理，Total Lagrangian 和 Updated Lagrangian 這兩種方法會得到完全相同的結果。差別只在於「站在哪一個時間點」去衡量變形量。但是要做到「完全正確」並不容易：像塑性這類材料行為，牽涉到本構方程式的積分（材料怎麼記憶它的應力歷史），如果要用 Total Lagrangian 處理，必須把這些方程式牽引回原始未變形的座標系統，還要套用正確的張量轉換，這在實務上相當不便。只有當本構方程式被正確牽引回原始座標、並套用適當的轉換之後，兩種方法才會真正等價，這也是為什麼前面提到，Updated Lagrangian 更常被用在塑性、大應變這類問題上的原因。

Buckling (挫屈)：K 趨近奇異矩陣

幾何非線性常見一種狀態就是，挫屈。挫曲分析要回答的問題，是結構會在什麼載重下崩潰。判斷的方式，是觀察結構的勁度矩陣什麼時候趨近奇異值，當結構的勁度矩陣接近奇異（singular）狀態，就代表偵測到了挫屈。

這件事被寫成一個特徵值問題：

其中 $\Delta K_G$ 假設是造成挫屈的載重增量 ΔP 的線性函數，挫屈載重則可以估計為：

計算幾何勁度矩陣 $\Delta K_G$ 的基礎，是上一個增量開始時的應力與位移狀態變化。這裡剛好呼應了前面提到的 K₂（初始應力勁度矩陣），挫屈本質上就是結構內部既有的應力狀態，透過幾何勁度矩陣的貢獻，讓整體勁度矩陣 K 趨近奇異，代表結構在這個載重下已經失去繼續抵抗變形的能力。

這樣來說，正常情況下，結構要變形，你必須對它施力（P越大，u跟著變大，兩者成正比關係）。但當 K 趨近奇異，代表結構已經到了一個臨界狀態：只要輕輕一碰（甚至理論上不需要額外施力），結構就會自己往某個特定方向持續變形下去——這正是挫屈發生的瞬間：結構失去了「抵抗變形所需要施力」這個特性，變得只要一點點擾動就會自己垮掉或彎折過去。

Snap-through：反直覺的力-位移曲線

幾何非線性最重要的兩種現象，一是挫屈，二是 Snap-through 分析。

buckling 跟 snap-through 的差異，可以從兩種力-位移關係的圖形看出來：buckling 問題呈現的是結構在載重達到某個臨界值後，力-位移關係出現路徑分岔，可能走向穩定的路徑，也可能走向不穩定的路徑；Snap-through 問題呈現的則是一條連續、但不是單調上升的力-位移曲線，隨著位移持續增加，力先上升到一個局部峰值，接著反而下降，之後才又重新回升。

這類大變形問題，可以分成兩種自然的類別：大位移、小應變的問題，以及大位移、大應變的問題。不管是 buckling 還是 Snap-through，背後共同的原因都是：結構的幾何勁度矩陣 K₂（也就是既有應力狀態對勁度的貢獻）已經大到足以讓整體 K 的行為偏離線性關係，力和位移之間不再是一條簡單的直線

和模擬分析有什麼關係?

前面提到的都是理論解釋。那麼我們知道有幾何非線性這種狀況，模擬分析上要設定什麼呢？以下是在 Marc 非線性分析軟體可以參考的設定。

啟用大變形分析+其它設定： 要在 Marc 裡啟用大位移（Total Lagrangian）選項，要用 LARGE DISP 參數；如果問題牽涉隨動力（例如離心力或壓力載重），還要加上 FOLLOW FOR 參數，讓程式依照當前的幾何形狀來計算所有的分布載重；這個參數不能跟 CENTROID 參數一起用，而且一定要搭配殘餘載重修正一起使用。也就是說，處理幾何非線性時，牽涉到載重形式（是否隨結構變形而改變方向或作用面積）、以及是否需要殘餘載重修正這些搭配設定，不是啟用大變形能處理所有狀況。

隨動力（Follower force）處理： 結構變形之後，表面載重的方向和作用面積都會跟著改變，大多數變形不大的結構，這個效應可以忽略，但對於承受大壓力載重的柔性殼結構，這個效應會顯著影響結果，必須納入有限元素方程式。隨動的點載重，可以透過 POINT LOAD 選項直接指定，或是透過一個隨節點位移旋轉的座標轉換（COORD SYSTEM 選項）來達到。這代表當外力的方向或作用面積會隨結構變形而改變時，模擬需要額外考慮 Follower force，不能假設外力方向從頭到尾都固定不變。

嚴重的網格扭曲處理： 有限元素網格是跟著材料一起變形的，這是 Lagrangian 方法的基本特性。這個特性帶來兩個缺點：流動問題很難用這種方式建模，而且網格扭曲的程度會跟物體變形的程度一樣嚴重。不過，近年來自適應網格（adaptive mesh）與重新劃分網格（rezoning）技術的進步，已經緩解了網格扭曲導致分析提早中止的問題。

極端非線性問題，挫屈選項可能不夠用： 對於極度非線性的問題，BUCKLE 選項沒辦法產生準確的結果，這時候需要改用 AUTO INCREMENT 這個歷程定義選項，以類靜態的方式進行自動載重步進，同時處理幾何大位移和材料（彈塑性）非線性問題，這個選項也能處理彈塑性 snap-through 現象，讓結構的後挫屈行為（post-buckling behavior）能被分析出來，這部分屬於求解方法的範疇，以後有機會再詳細討論。

常見問題

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